McKay-Korrespondenz für Kleinsche und Fuchssche Singularitäten

Abstract: Die klassische McKay-Korrespondenz beschreibt einen Zusammenhang  zwischen der Darstellungstheorie einer binären Polyedergruppe und der Geometrie der minimalen Auflösung der entsprechenden Kleinschen Singularität. Dolgachev hat eine Verallgemeinerung dieser  Korrespondenz auf Fuchssche Gruppen vom Geschlecht 0 vorgeschlagen.  In beiden Fällen kann man den entsprechenden Gruppen Poincaréreihen  zuordnen. Wir geben einen begrifflichen Beweis dafür, dass diese  Reihen Quotienten der charakteristischen Polynome geeigneter Coxeterelemente sind. Die Ergebnisse werden mit Hilfe von kohärenten Garben und derivierten Kategorien geometrisch interpretiert  (gemeinsame Arbeit mit David Ploog).

The classical McKay correspondence establishes a connection between  the representation theory of a binary polyhedral group and the  geometry of the minimal resolution of the associated Kleinian  singularity. Dolgachev has proposed a generalization of this correspondence to Fuchsian groups of genus 0. In both cases, one can  associate a Poincaré series to such a group. We give a conceptual  proof of the fact that these series are quotients of the  characteristic polynomials of certain Coxeter elements. The results are interpreted geometrically, using coherent sheaves and derived categories (joint work with David Ploog).